Question

【題目】已知函數（且為常數）．

（1）當時，討論函數在的單調性；

（2）設可求導數，且它的導函數仍可求導數，則再次求導所得函數稱為原函數的二階函數，記為，利用二階導函數可以判斷一個函數的凹凸性．一個二階可導的函數在區間上是凸函數的充要條件是這個函數在的二階導函數非負．

若在不是凸函數,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上是單調減函數；（Ⅱ）

【解析】

試題（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）求出函數g（x）的二階導數，問題轉化為，令h（x）=，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

試題解析：

(I) 令 得

設 則

當時， ， 在上是單調增函數，故而， 是在內的唯一零點，即是在內的唯一零點．

所以當時， ，即在上是單調減函數;

當時， ，即在上是單調增函數．

(II)

如果在是凸函數，那么 都有------7分

令 即得

當時， 當時，

即在單調遞增，在單調遞減， 所以

即 又在不是凸函數，所以