Question

記不等式x²-3x+2≤0的解集A，關于x的不等式x²-（a+1）x+a≤0的解集為B．
（Ⅰ）當a=3時，求A∩B；
（Ⅱ）求集合B；
（Ⅲ）若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應用,集合

分析：（I）求出集合A與a=3時集合B，再求A∩B；
（II）把x²-（a+1）x+a≤0化為（x-1）（x-a）≤0，討論a的取值，求出該不等式的解集；
（III）討論a的取值，求出當A⊆B時，實數a的取值范圍．

解答： 解：（ I）∵A={x|x²-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，…（2分）
當a=3時，B={x|x²-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}；…（4分）
∴A∩B={x|1≤x≤2}；    …（6分）
（ II）∵由x²-（a+1）x+a≤0，
∴（x-1）（x-a）≤0（*），…（7分）
當a＜1時，由（*）解得a≤x≤1；    …（8分）
當a=1時，由（*）解得x=1；   …（9分）
當a＞1時，由（*）解得1≤x≤a；    …（10分）
∴a＜1時，B={x|a≤x≤1}；
a=1時，B={1}；
a＞1時，B={x|1≤x≤a}；        …（11分）
（ III） 當A⊆B時，∵A={x|1≤x≤2}，
當a＜1或a=1時，由（ II）知不合題意；  …（12分）
當a＞1時，B={x|1≤x≤a}，
∴a＞2，…（13分）
綜上，實數a的取值范圍是{a|a＞2}．

點評：本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了集合的基本運算問題，考查了分類討論思想的應用問題，是綜合題目．