Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（a²x）•log_a（ax） （a＞0且a≠1），

1

9

≤x≤9．令t=log_ax
（1）若t∈[-2，2]，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

3

時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解對(duì)數(shù)不等式即可．
（2）利用換元法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga

1

9

，loga9]
∵t∈[-2，2]，
∴

loga 1 9 ≥-2 loga9≤2

∴

-loga9≥-2 loga9≤2

∴l(xiāng)oga9≤2=logaa2，
∵a＞1，∴a²≥9，a≥3．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
∵

1

9

≤x≤9．
∴t=logax∈[loga9，loga

1

9

]．
∵t∈[-2，2]，
∴

loga9≥-2 loga 1 9 ≤2

∴

loga9≥-2 -loga9≤2

∴l(xiāng)oga9≥-2=logaa-2，
∵0＜a＜1，
∴a-2≥9，a2≤

1

9

，0＜a≤

1

3

．
綜上0＜a≤

1

3

或a≥3．
（ II） 由f(x)=(log

3

x+2)•(log

3

x+1)=(log

3

x)2+3log

3

x+2=t2+3t+2
令g(t)=t2+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，t∈[-4，4]．
當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，g(t)min=-

1

4

，
即log

3

x=-

3

2

⇒x=(

3

)-

3

2

=3-

3

4

=

4 3

3

．
∴f(x)min=-

1

4

，此時(shí)x=

1

27

（寫(xiě)成x=3-

3

4

也可以）
當(dāng)t=4時(shí)，g（t）_max=g（4）=30，
即log

3

x=4⇒x=9．
∴f（x）_max=30，此時(shí)x=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．