Question

（2013•黃岡模擬）設x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，點P為曲線y=-

1

3x2

(x＜0)上動點，則點P到點（a，b）的最小距離為（　　）

• A．

  7 13

  13

• B．O
• C．

  7 13

  26

• D．1

Answer 1

分析：作出可行域，可得目標函數取最值時的條件，可得關于ab的式子，求曲線的切線，由平行線間的距離公式可得結論．

解答：解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，
當直線z=ax+by（a＞0，b＞0）過直線3x-y-6=0與直線x-y+2=0的交點A（4，6）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大8，即4a+6b=8，
化簡可得2a+3b=4，即點（a，b）在直線2x+3y-4=0上運動，
∵點P為曲線y=-

1

3x2

(x＜0)上動點，對函數求導數可得y′=

2

3x3

，
令

2

3x3

=-

2

3

可解得x=-1，代入曲線可得y=-

1

3

，
故曲線上與直線2x+3y-4=0平行的切線過點（-1，-

1

3

），斜率為-

2

3

，
∴切線的方程為y+

1

3

=-

2

3

（x+1），整理可得2x+3y+3=0，
由兩平行線間的距離公式可得d=

|-4-3|

22+32

=

7 13

13

，
∴點P到點（a，b）的最小距離為

7 13

13

，
故選A

點評：本題考查簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬中檔題．