Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(Ⅰ)求證：AB₁⊥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)取中點，連結． 　　為正三角形，． 　　正三棱柱中，平面平面， 　　平面． 　　連結，在正方形中，分別為的中點， 　　， 　　．在正方形中， 　　， 　　平面． 　　(Ⅱ)設與交于點，在平面中， 　　作于，連結， 　　由(Ⅰ)得平面．， 　　為二面角的平面角． 　　在中，由等面積法可求得， 　　又， 　　． 　　所以二面角的大小為． 　　解法二：(Ⅰ)取中點，連結． 　　為正三角形，． 　　在正三棱柱中， 　　平面平面， 　　平面． 　　取中點，以為原點，， 　　，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，　　2分 　　則，，，，， 　　，，． 　　，，　　4分 　　，．平面．　　5分 　　(Ⅱ)設平面的法向量為．　　6分 　　，．，， 　　　　 　　　　8分 　　令得為平面的一個法向量．　　9分 　　由(Ⅰ)知平面， 　　為平面的法向量．　　10分 　　，　　11分 　　二面角的大小為．　　12分