Question

（2013•聊城一模）在區間[0，2]上任取兩個實數a，b，則函數f（x）=x³+ax-b在區間[-1，1]上有且只有一個零點的概率是（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  4

• C．

  3

  4

• D．

  7

  8

Answer 1

分析：根據所給的條件很容易做出試驗發生包含的事件對應的面積，而滿足條件的事件是函數f（x）=x³+ax-b在區間[-1，1]上有且僅有一個零點，求出導函數，看出函數是一個增函數，有零點等價于在自變量區間的兩個端點處函數值符號相反，得到條件，做出面積，根據幾何概型概率公式得到結果．

解答：解：由題意知本題是一個幾何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x²+a≥0，
∴f（x）是增函數
若f（x）在[-1，1]有且僅有一個零點，
則f（-1）•f（1）≤0
∴（-1-a-b）（1+a-b）≤0，
即（1+a+b）（1+a-b）≥0

1

2

×1×1=

1

2

11
由線性規劃內容知全部事件的面積為2×2=4，滿足條件的面積4-

1

2

×1×1=

7

2

∴P=

7 2

4

=

7

8

故選D

點評：本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發生包含的事件同集合結合起來，根據集合對應的圖形做出面積，用面積的比值得到結果．