Question

（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為．

（3）點滿足時，有// 平面．

【解析】本試題主要是考查了空間幾何中點，線，面的位置關系的運用。

（1）取中點，連結，．

因為，所以．同時得到 ．  

根據平面．  得到

（2）因為平面平面，且

所以BC⊥平面，則即為直線與平面所成的角

（3）假設存在點，且時，有// 平面，建立直角坐標系來證明。

解：（1）證明：取中點，連結，．

因為，所以．                            

因為四邊形為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．  

所以平面．     所以 ．        ………………4分

（2）解法1：因為平面平面，且

所以BC⊥平面

則即為直線與平面所成的角

設BC=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，

即直線與平面所成角的正弦值為．               ………………8分

解法2：因為平面平面，且 ，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，

則．

所以 ，平面的一個法向量為．

設直線與平面所成的角為，

所以 ，           

即直線與平面所成角的正弦值為．      ………8分

（3）解：存在點，且時，有// 平面．       

證明如下：由 ，，所以．

設平面的法向量為，則有

所以   取，得．

因為 ，且平面，所以 // 平面．

即點滿足時，有// 平面．               ………………12分