Question

【題目】已知函數在處有極值.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）設，討論函數在區間上的單調性.

Answer 1

【答案】(1) 在處有極值時，,(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導函數，由∴且，求得或，檢驗后可得結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用導數研究函數的單調性和極值，分五種情況討論，分別比較極值與端點處的函數值即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）定義域為，

∵在處有極值，

∴且，

即

解得：或

當時，，

當時，

∴在處有極值時，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其單調性和極值分布情況如表：

	+	0	-	0	+
	增	極大	減	極小	增

∴①當，即時，在區間上的單調遞增；

②當，即時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；③當且，即時，在區間上單調遞減；

④當，即時，在區間上的單調遞減，在區間上單調遞增；

⑤時，在區間上單調遞增.

綜上所述，當時函數在區間上的單調性為：

或時，單調遞增；

時，在上的單調遞增，在上單調遞減；

時，單調遞減；

時，在上單調遞減，在上單調遞增.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值與最值，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.