Question

如圖所示，空間直角坐標系中，直三棱柱ABC-A′B′C′，AB=BC=2，BB′=2，N、M分別是A′C′、B′C′的中點．
（1）試畫出該直三棱柱ABC-A′B′C′的側視圖．并標注出相應線段長度值；
（2）求證：直線AN與BM相交，并求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要畫直三棱柱的側視圖，我們可以直觀圖可得，B為直角，側面是一個邊長為2的正方形．
（2）要證明AN和BM相交，我們可以結合公理3，證明三線共點，要求二面角M-AN-C的余弦值，我們可以A為坐標原點，AB，AC，AA'，為坐標軸建立空間坐標系，利用空間向量求解．
解答：解：（1）直三棱柱ABC-A′B′C′的側視圖如下圖示：

（2）證明：如下圖所示：

∵由MN∥A'B'，MN=A'B'，
∴MN∥AB，MN=AB，
則四邊形AMNB為梯形．
令AM∩BN=P，
則P∈AM，而AM?平面ACC'A'，P∈BN，BN?平面ACC'A'，
平面ACC'A'∩平面ACC'A'=CC'，∴P∈CC'．
∴直線AN與BM相交．
以A為坐標原點，AB，AC，AA'，為坐標軸建立空間坐標系，
則易得：平面MAN的一個法向量為，
平面CAN的一個法向量為，

故二面角M-AN-C的余弦值．
點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；