Question

如圖所示的空間直角坐標系A-xyz中，正三角形△ABC中AB=2，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁=2，D，E分別為A₁C，BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；        
（Ⅱ）求異面直線BD與CE所成角的大�。�

Answer 1

分析：在空間直角坐標系中，先確定相關點的坐標，（1）取取AC的中點F，利用向量證明DE∥BF，從而由線面平行的判定定理得證（2）分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標，再利用向量數量積運算的夾角公式計算向量夾角的余弦值，最后由異面直線所成的角的范圍得角的大小

解答：解：依題意，A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），D（0，1，1），E（

3

，1，1）
（1）取AC的中點F（0，1，0），則

BF

=（-

3

，0，0），

ED

=（-

3

，0，0）
∴

BF

=

ED

∴DE∥BF
又BF?平面ABC，DE?平面ABC
∴DE∥平面ABC
（2）∵

BD

=（-

3

，0，1），

CE

=（

3

，-1，1）
∴cos＜

BD

，

CE

＞=

BD • CE

| BD ||  CE |

=

-3+0+1

3+1 × 3+1+1

=-

5

5

∴異面直線BD與CE所成角的余弦值為

5

5

∴異面直線BD與CE所成角的大小為arccos

5

5

點評：本題綜合考查了空間直角坐標系的方法解決立體幾何問題，線面平行的判定定理，求異面直線所成的角的方法