Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，其圖象關于x=1對稱且f(

1

2

)=0，則方程f（x）=0在（0，5）內解的個數的最小值是（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：由題意可得f（2-x）=f（x），f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x），再由f（0）=0、f（

1

2

）=0，求得 f（

3

2

）=f（2）=f（

5

2

）=f（

7

2

）=f（4）=f（

9

2

）=0，從而結合所給的選項得出結論．

解答：解：函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4．
又定義在R上的奇函數，故f（0）=0．
∵f（

1

2

）=0，∴f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（

1

2

）=0，f（2）=f（0）=0，
f（

5

2

）=f（2+

1

2

）=-f（

1

2

）=0，f（

7

2

）=f（2+

3

2

）=-f（

3

2

）=0，
 f（4）=f（0）=0，f（

9

2

）=f（

5

2

+2）=-f（

5

2

）=0，
故函數f（x）的零點在（0，5）內的個數的最小值為7，
即方程f（x）=0在（0，5）內解的個數的最小值是7，
故選 D．

點評：本題主要考查函數的周期性、奇偶性的應用，方程根的存在性及個數判斷，函數的零點與方程的根的關系，
屬于中檔題．