Question

（本小題滿分14分）已知函數的導函數是，在處取得極值，且，

（1）求的極大值和極小值；

（2）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有

成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

 

Answer 1

（1）極大值為，極小值為；（2）；（Ⅲ）直線斜率的最小值為4，，理由祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）依題意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可設f（x）=x3-6x2+9x+p，因為f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的極大值和極小值．

（2）當0＜t≤1時，由（1）知f（x）在[0，t]上遞增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt對任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，則λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范圍．

（Ⅲ）當x∈（0，1]時，直線OM斜率，因為0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，則4≤（x-3）2＜9，即直線OM斜率的最小值為4．由此能夠導出f（x）＞4s1nx．

試題解析： （1）依題意，，解得， 1分

由已知可設，

因為，所以，

則，導函數． 3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

 

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為． 5分

（2）①當時，由（1）知在上遞增，

所以的最大值， 6分

由對任意的恒成立，得，

則，因為，所以，則，

因此的取值范圍是． 8分

②當時，因為，所以的最大值，

由對任意的恒成立，得， ∴，

因為，所以，因此的取值范圍是， 9分

綜上①②可知，的取值范圍是． 10分

（Ⅲ）當時，直線斜率，

因為，所以，則，

即直線斜率的最小值為4． 11分

首先，由，得.

其次，當時，有，所以， 12分

證明如下：

記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以 . 14分

考點：1. 利用導數求閉區間上函數的最值；2. 利用導數研究函數的極值．