Question

冪指函數y=[f（x）]^g（x）在求導時，可運用對數法：在函數解析式兩邊求對數得lny=g（x）•lnf（x），兩邊同時求導得

y/

y

=g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

，于是y′=[f(x)]g(x)[g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

]，運用此方法可以探求得知y=x

1

x

的一個單調遞增區間為（　　）

A．（0，2）

B．（2，3）

C．（e，4）

D．（3，8）

Answer 1

分析：利用所給的方法，求導函數，令導數大于0，可確定y=x

1

x

的一個單調遞增區間，即可選出正確選項．

解答：解：設f（x）=x，g（x）=

1

x

所以f′（x）=1，g′（x）=-

1

x2

所以，y′=x

1

x

×（-

1

x2

lnx+

1

x2

）=

1-lnx

x2

×x

1

x

∵x＞0，∴x

1

x

＞0，x²＞0
令y′＞0，可得只要 1-lnx＞0
∴x∈（0，e）
∴y=x

1

x

的一個單調增區間為（0，e）或它的一個子集即可，
故選A．

點評：本題重點考查新定義的運用，考查利用導數確定函數的單調性，解題的關鍵是利用新定義求出導函數．