Question

已知|

a

|=6 ， |

b

|=4，且

a

與

b

不共線．
（1）若

a

與

b

的夾角為60⁰，求( 

a

+2

b

 )•( 

a

-3

b

 )；
（2）若向量

a

+k 

b

與向量

a

-k 

b

垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本小題考查數量積的運算，根據向量的數量積運算及數量積公式求(

a

+2

b

)•(

a

-3

b

)的值；
（2）本題考查數量積與垂直的對應關系，兩向量垂直，則數量積為0，由此建立方程求出k的值．

解答：解：（1）因為|

a

|=6 ， |

b

|=4，且

a

與

b

的夾角為60⁰．
所以( 

a

+2

b

 )•( 

a

-3

b

 )=|

a

| 2-

a

•

b

-6|

b

| 2=62-6×4×

1

2

-6×42=-72…（6分）
（2）∵向量

a

+k 

b

與向量

a

-k 

b

垂直．
∴（

a

+k 

b

）•（

a

-k 

b

）=0，即…（8分）
|

a

| 2-k 2•|

b

| 2=36-16k 2=0，
從而k=±

3

2

．…（12分）

點評：本題考查數量積運算與向量垂直的條件，是向量中綜合性較強的題，熟練掌握向量數量積的運算及數量積的意義是解本題的關鍵，數量積與向量垂直關系的對應是向量的一個重要應用．