Question

求下列函數的值域
①y=3x+2（-1≤x≤1）②f(x)=2+

4-x

③y=

x

x+1

④y=x+

1

x

．

Answer 1

分析：①利用一次函數的單調性即可求得其值域；②先求函數的定義域，再利用函數的單調性求函數的值域；③利用分離常數法將函數變形，再利用反比例函數的圖象和性質求函數的值域；④利用均值定理求函數的值域，注意均值定理成立的條件

解答：解：（1）∵一次函數f（x）=3x+2在[-1，1]上為增函數，
∴f（-1）≤y≤f（1），即-1≤y≤5
∴函數y=3x+2（-1≤x≤1）的值域為[-1，5]
（2）∵函數f(x)=2+

4-x

的定義域為（-∞，4]
且此函數在定義域上為單調減函數，
∴f（x）≥f（4）=2
∴函數f(x)=2+

4-x

的值域為[2，+∞）
（3）函數y=

x

x+1

=1-

1

x+1

由反比例函數的圖象知

1

x+1

≠0
∴y≠1
∴函數y=

x

x+1

的值域為（-∞，1）∪（1，+∞）
（4）x＞0時，y=x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2
x＜0時，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)× 1 -x

=-2
∴函數y=x+

1

x

的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）

點評：本題考察了求函數的值域的方法：單調性法、函數圖象法、分離常數法、均值定理法