Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的兩個(gè)實(shí)根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;
（3）若,是前項(xiàng)和, ,當(dāng)時(shí),試比較與的大小.

Answer 1

（1），；（2）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), ．

試題分析：（1）是方程的兩個(gè)實(shí)根，有根與系數(shù)關(guān)系可得，，，求，的值，可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由得，，所以，即，得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列，分別寫出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若,是前項(xiàng)和, ,當(dāng)時(shí),試比較與的大小，此題關(guān)鍵是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由（1）可知，可得，當(dāng)時(shí), =0,=0,得，當(dāng)時(shí),有基本不等式可得，從而可得0+=，即可得結(jié)論．
試題解析：（1）,
當(dāng)時(shí),,,
,
（2）,,
的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為9的等比數(shù)列.
,,

（3）
當(dāng)時(shí), =0,=0,.
當(dāng)時(shí),
0+=
綜上,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), .
或
猜測時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時(shí),已證
②假設(shè)時(shí),成立
當(dāng)時(shí),
即時(shí)命題成立
根據(jù)①②得當(dāng)時(shí),
綜上,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),