Question

設a.,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m²+15,m∈Z},C={(x,y)|x²+y²

≤144}是直角坐標平面xOy內的點集,討論是否存在a和b,使得A∩B=與(a,b)∈C能同時成立.

Answer 1

解:此問題等價于探求a、b是否存在的問題,它滿足

設存在a和b滿足①②兩式,構造向量m=(a.,b),n=(n,1).

由|m·n|²≤|m|²|n|²,得(na+b)²≤(n²+1)(a²+b²),

∴(3n²+15)²≤144(n²+1)n⁴-6n²+9≤0.

解得n=±,這與n∈Z矛盾,故不存在a.和b滿足條件.