Question

已知函數(shù)f（x）=

2 x ， x≥2 (x-1)3， x＜2

，若關(guān)于x的方程f（x）=k-1有兩個不等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是

（1，2）

．

Answer 1

分析：題目給出了分段函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)和冪函數(shù)型的兩段函數(shù)的圖象可以看出兩段函數(shù)構(gòu)成的圖象的最大值為1，第二段向下無限延伸，第一段無限接近x軸但不相交，求關(guān)于x的方程f（x）=k-1有兩個不等的實根，就是使直線y=k-1和函數(shù)f（x）的圖象有兩個不同交點．

解答：解：函數(shù)的圖象是取第一段的反比例函數(shù)在x≥2的部分及函數(shù)f（x）=（x-1）³在x＜2的部分，兩段函數(shù)在第一象限的（2，1）處結(jié)合，要使關(guān)于x的方程f（x）=k-1有兩個不等的實根，則需直線y=k-1與函數(shù)f（x）的圖象有兩個不同的交點，所以有0＜k-1＜1，即1＜k＜2，所以關(guān)于x的方程f（x）=k-1有兩個不等的實根的實數(shù)k的取值范圍是（1，2）．
故答案為（1，2）

點評：本題以函數(shù)值域為背景，考查了函數(shù)圖象的交點問題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，明確關(guān)于x的方程f（x）=k-1有兩個不等的實根是指的函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k-1的圖象有兩個不同交點．