Question

如圖，長方體在雨中沿面P垂直方向作勻速運動，移動距離為100，速度為v（v＞0），雨速沿移動方向的分速度為3，移動時長方體單位時間內的淋雨量包括兩部分；
（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量為

3

20

|v-3|；
（2）其它面的淋雨量之和為

1

2

，記y為長方體移動過程中的總淋雨量．
（Ⅰ）求y的表達式；
（Ⅱ）設0＜v≤10，試確定移動速度v，使總淋雨量y最小，并求出最小淋雨量．

Answer 1

分析：（Ⅰ）E移動時的總淋雨量應該等于單位時間內的淋雨量乘以所用的時間，可先求出單位時間內的淋雨量的式子，再乘以時間即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質，將（Ⅰ）中的函數分解為分段函數的形式，再由v的不同取值范圍討論函數的單調性，在不同的情況下，單調區間不同，總淋雨量最小值對應的v值也不同．

解答：解：（I）由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為

3

20

|v-3|+

1

2

，
∴長方體移動過程中的總淋雨量為y=

100

v

•（

3

20

|v-3|+

1

2

）
（II）由（I）知，當0＜v≤3時，y=

100

v

•[-

3

20

(v-3)+

1

2

]=-15+

95

v

，∴v=3時，y_min=

50

3

當3＜v≤10時，y=

100

v

•[

3

20

(v-3)+

1

2

]=15+

5

v

，∴v=10時，y_min=

31

2

∵

50

3

＞

31

2

∴v=10時，總淋雨量y最小，最小淋雨量為

50

3

．

點評：本題著重考查函數應用能力，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．