Question

【題目】已知橢圓的上頂點到左焦點的距離為.直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直線過定點，證明見解析.

【解析】

（1）設橢圓的方程為，根據題意可求得、的值，進而可得橢圓的方程；

（2）求出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求得點的坐標，進而可求得直線的方程；

（3）由題意可知，直線的斜率存在，可設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由已知條件得知直線和的斜率之和為，代入韋達定理化簡計算得出與所滿足的關系式，進而得出直線所過的定點坐標.

（1）設橢圓的方程為，

該橢圓的上頂點到左焦點的距離為，即，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意可得，，直線的斜率為，

，則直線的斜率為，

直線的方程為，

聯立，得，解得或，所以點的坐標為.

直線的斜率為，因此，直線的方程為；

（3）由于直線與橢圓的兩交點、都在軸上方，則直線的斜率存在，

設直線的方程為，設點、，

聯立，消去得，

，得，

由韋達定理得，，

，所以，直線和的斜率之和為，

即，

，

，則直線的方程為，直線過定點.