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已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}=∅,求實數p的取值范圍.
【答案】分析:A∩{x∈R|x>0}=∅,表示A為空集或A中的元素均小于等于0,即方程x2+2x+p=0無實根,或是方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.根據韋達定理(根與系數的關系),可以構造不等式組,解不等式組,即可得到答案.
解答:解:∵A∩{x∈R|x>0}=∅,
∴(1)若A=∅,則△=4-4p<0,得p>1;
(2)若A≠∅,則A={x|x≤0},
即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.
設兩根為x1、x2,則
∴0≤p≤1.綜上所述,p≥0.
點評:本題中易忽略點是對A=∅的討論,集合運算和集合關系中,由于空集的特殊性,故一定要考慮∅是否滿足要求,如果滿足要求,則對∅的分類討論必不可少;另外方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0表示①方程有實根,即△≥0②兩根之和大于等于0③兩根之積大于等于0.三個條件必須同時滿足.
練習冊系列答案
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<0
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