Question

討論函數y=ax²-2（3a+1）x+3在[-3，3]上的單調性．

Answer 1

【答案】分析：先對字母a的取值進行分類討論：：①當a=0時；②當a＞0時；③當a＜0時．再針對二次函數圖象，找對稱軸，利用開口向上（或向下）的二次函數在對稱軸右邊遞增（減），左邊遞減（增）即可研究其單調性．
解答：解：①當a=0時，y=-2x+3，是一次函數，在[-3，3]上單調遞減；
②當a＞0時，函數y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對稱軸為x=3+＞3，開口向上的拋物線，
所以在[-3，3]上是減函數；
③當a＜0時，函數y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對稱軸為x=3+＜3，開口向下的拋物線，
（i）當-≤a＜0時，函數y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對稱軸為x=3+≤-3，開口向下的拋物線，
所以在[-3，3]上是減函數；
（ii）當a＜-時，函數y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對稱軸為x=3+∈[-3，3]，開口向下的拋物線，
所以在[-3，3+]上是增函數；在（3+，3]上是減函數；
綜上，a≥時，在[-3，3]上是減函數；當a＜-時，在[-3，3+）上是增函數；在（3+，3]上是減函數．
點評：本題主要考查了二次函數的單調性，二次函數的單調區間有對稱軸和開口方向二者決定，開口向上的二次函數在對稱軸右邊遞增，左邊遞減；開口向下的二次函數在對稱軸左邊遞增，右邊遞減．