Question

已知函數f（x）=ax²+4x-2滿足對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求實數a的取值范圍；（2）試討論函數y=f（x）在區間[-1，1]上的零點的個數．

Answer 1

分析：（1）先將 f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函數f（x）的表達式表示出來，再進行化簡得：-

a

4

(x1-x2)2＜0，由此式即可求得實數a的取值范圍；
（2）a＞0，△=16+8a＞0，
當0＜a≤6時，f（1）=a+2＞0，f（-1）≤0，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有1個零點；a＞6時，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有2個零點．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴實數a的取值范圍為（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0時，f（1）=a+2＞0，
當0＜a≤6時，總有f（-1）≤0，
故0＜a≤6時，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有1個零點；
②a＞6時，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，
故a＞6時，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有2個零點．
綜上所述，0＜a≤6時，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有1個零點；
a＞6時，函數y=f（x）在區間[-1，1]上有2個零點．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于難題．