Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，點E在PA線段上，PC平面BDE

（1）請確定點E的位置；并說明理由.

（2）若是等邊三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱錐的體積為，求點E到平面PCD的距離.

Answer 1

【答案】（1）點為的中點，理由見解析（2）

【解析】

（1）連結AC、BD，交于點M，連結ME則M是AC中點，由PC平面BDE，得PCME，由此能證明AE=PE．

（2）以AD中點O為原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過點O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出E到平面PCD的距離．

（1）連接AC交BD于M，如圖，

當E為AP的中點時， 點M為AC的中點.

∴在中，，平面BDE，

平面BDE. ∴平面BDE.

（2）是等邊三角形，，平面平面ABCD，

以AD中點O為原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過點O作AB的平行線為y軸，

以OP為z軸，建立空間直角坐標系，

設，四棱錐的體積為，

，解得．

0，，0，，0，，0，，6，．

0，，6，，0，，

設平面PCD的法向量，

則，取，得0，，

到平面PCD的距離．