Question

4．已知數列{a_n}的前n項和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$．則a₁₀=$\frac{1}{1024}$．

Answer 1

分析 根據題意，若數列{a_n}的前n項和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①，則有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②；將兩式相減可得a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），變形可得a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，利用s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），當n=1時求出a₁的值，分析可得數列{a_n}為等比數列，且可得首項與公比，利用等比數列的通項公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，數列{a_n}的前n項和為${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①
則有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②
①-②可得：a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），
變形可得：a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
對于s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
令n=1可得：s₁=a₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），解可得a₁=-$\frac{1}{2}$；
則數列{a_n}是以a₁=-$\frac{1}{2}$為首項，q=-$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
則a₁₀=a₁×q⁹=$\frac{1}{1024}$；
故答案：$\frac{1}{1024}$．

點評 本題考查數列的遞推公式，關鍵是利用遞推關系式求出該數列的通項公式．