Question

已知點(diǎn)P是棱長為的正八面體的一個(gè)對角面上的一個(gè)動點(diǎn)，若P到不在該對角面上的一個(gè)頂點(diǎn)的距離是它到在該對角面上的某個(gè)頂點(diǎn)的距離的倍，則動點(diǎn)P的軌跡是_______的部分．

1. A.
   圓
2. B.
   拋物線
3. C.
   雙曲線
4. D.
   橢圓

Answer 1

A
分析：由阿波羅尼圓問題，我們可以類比推斷出在空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為宣傳的動點(diǎn)軌跡為一個(gè)球，結(jié)合P點(diǎn)是正八面體的一個(gè)對角面上的一個(gè)動點(diǎn)，故我們可將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面與球的截面形狀判定問題，結(jié)合球的幾何特征即可得到答案．
解答：設(shè)不在該對角面上的一個(gè)頂點(diǎn)為A，
在該對角面上的某個(gè)頂點(diǎn)為B
若P點(diǎn)到A的距離為P點(diǎn)到B點(diǎn)距離的倍，
則P點(diǎn)的軌跡為一個(gè)球
又由題目中P點(diǎn)是正八面體的一個(gè)對角面上的一個(gè)動點(diǎn)，
該平面截上述球所得的軌跡為一個(gè)圓
故選A
點(diǎn)評：本題考查的是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為定值的動點(diǎn)軌跡，即是阿波羅尼圓問題．但在空間中，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為宣傳的動點(diǎn)軌跡為一個(gè)球，本題是一個(gè)平面截球的截面形狀判定問題．