Question

過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點F作直線l交雙曲線于不同的兩點P與Q，則滿足|PQ|=6的直線l的條數有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①當直線l與雙曲線交于一支時，先求直線的斜率不存在時PQ=6是否滿足條件，從而可判斷直線的斜率存在時，PQ=6的直線是否存在
②當直線與雙曲線交于兩支取、時可設直線方程為y=k（x+2）．聯立方程，利用方程的根與系數的關系及弦長公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

可求k，進而可判斷滿足條件的直線的個數

解答：解：①當直線l與雙曲線交于一支時
若直線的斜率不存在時，直線方程為x=-2與雙曲線的交點P（-2，3）Q（-2，-3），此時PQ=6滿足條件
若直線的斜率存在時PQ＞6，不滿足條件
②當直線與雙曲線交于兩支取、時可設直線方程為y=k（x+2）
聯立方程

y=k(x+2) x2- y2 3 =1

整理可得（3-k²）x²-4k²x-（4k²+3）=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則可得x1+x2=

4k2

3-k2

x1x2= -

4k2+3

3-k2

個PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 16k4 (3-k2) 2 + 16k2+12 3-k2

]=6
解可得，k=±1
故滿足條件的直線有3條
故選：C

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的相交求弦長問題，要注意弦長公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

與方程的根與系數的關系的結合應用．