Question

過雙曲線x2-

y2

3

=1的右焦點F作傾角為

π

4

的弦AB，求弦長|AB|及線段AB的中點C到F的距離．

Answer 1

分析：依題意可知AB的方程，與雙曲線方程聯立，利用弦長公式即可求得|AB|，利用韋達定理可求得線段AB的中點C的坐標，從而可求C到F的距離．

解答：解：∵雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1，
∴c²=1+3=4，
∴右焦點F（2，0），
∵過右焦點的傾斜角為

π

4

的直線與雙曲線x²-

y2

3

=1交于A、B兩點，
∴AB的方程為：y-0=（x-2），即y=x-2．
∴k_AB=1．
由

x2- y2 3 =1 y=x-2

得：2x²+4x-7=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程2x²+4x-7=0的兩根，
由韋達定理得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

，
∴AB的中點C（-1，-3）；
∴由弦長公式得：|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+kAB2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(-2)2-4(- 7 2 )

=6．
∴|CF|=

(-1-2)2+(-3-0)2

=3

2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查方程思想，考查弦長公式與韋達定理的應用，屬于中檔題．