Question

設a₁=2，a₂=4，數列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求證：數列{b_n+2}是等比數列（要指出首項與公比）；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求數列{nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得b_n+1+2=2（b_n+2），由此能證明數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列．
（2）由（1）得an-an-1=2n-2．由此利用疊加得an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由nbn=n2n+1-2n，得S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1），由此利用分組求和法和錯位相減法能求出Sn=(n-1)2n+2-n2-n-4．

解答： （1）證明：∵b_n+1=2b_n+2，∴b_n+1+2=2（b_n+2），
∵

bn+1+2

bn+2

=2，又b₁+2=a₂-a₁=4，
∴數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列．…（3分）
（2）解：由（1）得bn+2=4•2n-1⇒bn=2n+1-2．
∴an-an-1=2n-2．
令n=1，2，…，（n-1），疊加得an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n．…．（6分）
（3）解：由（2）知nbn=n2n+1-2n，
∴Sn=(1×22-2×1)+(2×23-2×2)+(3×24-2×3)+…+(n×2n+1-2×n)
=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-2（1+2+3+…+n）
=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）
令Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1
則2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2
∴

-Tn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2 = 4(1-2n) 1-2 -n×2n+2

Tn=(n-1)2n+2-4
∴Sn=(n-1)2n+2-n2-n-4…（12分）．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意疊加法、分組求和法和錯位相減法的合理運用．