Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)．
（1）若等差數列{b_n}恰好使數列{a_n+b_n}成公比為

1

3

的等比數列，求通項b_n
（2）求通項a_n
（3）求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

Answer 1

分析：（1）化簡數列的關系式為：an+1-3(n+1)+2=

1

3

(an-3n+2)，(n∈N+)，通過等差數列{b_n}恰好使數列{a_n+b_n}成公比為

1

3

的等比數列，直接得到通項b_n．
（2）結合（1）求出數列{a_n-3n+2}的通項a_n-3n+2的表達式，然后解出通項a_n．
（3）先求出數列的前n項和，然后利用數列的極限的運算法則直接求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

解答：解：（1）因為a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)，
所以an+1-3(n+1)+2=

1

3

(an-3n+2)，(n∈N+)，
所以數列{a_n-3n+2}以1為首項，

1

3

為公比的等比數列，
所以b_n=-3n+2時，等差數列{b_n}恰好使數列{a_n+b_n}成公比為

1

3

的等比數列．
（2）由（1）可知數列{a_n-3n+2}以1為首項，

1

3

為公比的等比數列，
所以a_n-3n+2=（

1

3

）^n-1，所以a_n=（

1

3

）^n-1+3n-2
（3）由（2）可知，數列{a_n}的前n項和為：
Sn=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

3n(1+n)

2

-2n=

3

2

-

3

2

(

1

3

)n+

3n(1+n)

2

-2n；
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

3 2 - 3 2 ( 1 3 )n+ 3n(1+n) 2 -2n

n2

=

3

2

．

點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式，數列通項公式的求法，數列前n項和的求法以及數列的極限的運算法則，考查計算能力，轉化思想．