Question

設f(log2x)=x+

a

x

（a是常數）．
（1）求f （x）的表達式；
（2）如果f （x）是偶函數，求a的值；
（3）當f （x）是偶函數時，討論函數f （x）在區間（0，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1） 令t=log₂x，則x=2^t，代入解析式換元即可求出外層函數的解析式；
（2）f （x）是偶函數，則可得到方程f （-x）=f （x）由此解方程即可求a，求解時要注意恒成立怎么轉化．
（3）由（2）得到的解析式進行討論，設0＜x₁＜x₂，研究f（x₂）-f（x₁）差的符號，進而判斷出其單調性，做本題時要注意做題的格式，先判斷再證明

解答：解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，于是f(t)=2t+

a

2t

∴f(x)=2x+

a

2x

（3分）
（2）∵f（x）是偶函數，∴2-x+

a

2-x

=2x+

a

2x

對任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x+

1

2x

)=0對任意x∈R恒成立
∴a-1=0，即a=（16分）
（3）f （x）是偶函數時，討論函數f （x）在區間（0，+∞）上是增函數，
證明如下
f(x)=2x+

1

2x

，設0＜x₁＜x₂，則f(x2)-f(x1)=(2x2+

1

2x2

)-(2x1+

1

2x1

)=(2x2-2x1)(1-

1

2x1+x2

)（8分）
∵x₁＜x₂，且y=2^x是增函數，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂＞0，∴2x1+x2＞1  ?

1

2x1+x2

＜1（10分）
故1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）是增函數．（12分）

點評：本題考查換元法求外層函數的解析式以及通過函數的奇偶性建立方程求參數，用函數單調性的定義證明函數的單調性，本題涉及面廣，知識點多，綜合性較強．