Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為且滿足，當時，.

（1）判斷在上的單調(diào)性并加以證明；

（2）若方程有實數(shù)根，則稱為函數(shù)的一個不動點，設(shè)正數(shù)為函數(shù)的一個不動點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞減. 見解析 (2) （或）.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，構(gòu)造函數(shù)，可證在上單調(diào)遞減.，再通過的奇偶性，可得出在上單調(diào)遞減，即可判斷在上的單調(diào)性；

（2）轉(zhuǎn)為為（1）中的兩個函數(shù)值，利用的單調(diào)性，求出的范圍，再根據(jù)不動點的定義轉(zhuǎn)化為在有解，，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究與函數(shù)在有交點，通過兩次求導(dǎo)得出在單調(diào)性，即可求出在的范圍.

（1）令，則，

∵當時，，∴，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

∴，

∴為奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減.

又∵在上單調(diào)遞減，

∴在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞減.

∵，∴，

∴，故.

∵正數(shù)為函數(shù)上的一個不動點，∴方程在上有解，

即方程在上有解，

整理得：.

令，，

設(shè)，，則，

∴在上單調(diào)遞增，又，

∴，∴，

∴在上單調(diào)遞減，

∴（或），

即的取值范圍是（或）.