Question

【題目】已知橢圓： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線： 與橢圓有且只有一個公共點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；

（Ⅱ）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），點T坐標為（2,1）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，考查學生的分析問題、解決問題的能力和數形結合的思想.第（Ⅰ）問，利用直線和橢圓只有一個公共點，聯立方程，消去y得關于x的方程有兩個相等的實數根，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質，數形結合，根據根與系數的關系，進行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知， ，則橢圓E的方程為.

由方程組得.①

方程①的判別式為，由，得，

此時方程①的解為，

所以橢圓E的方程為.

點T坐標為（2,1）.

（Ⅱ）由已知可設直線的方程為，

由方程組可得

所以P點坐標為（），.

設點A，B的坐標分別為.

由方程組可得.②

方程②的判別式為，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常數，使得.