Question

(本小題滿分16分)

將數列中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：記表中的第一列數構成的數列為，已知：

①在數列中，，對于任何，都有；

②表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為的等比數列；

③．請解答以下問題：

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求上表中第行所有項的和；

（Ⅲ）若關于的不等式在上有解，求正整數的取值范圍．

Answer 1

(本小題滿分16分)

解：（Ⅰ）由，得數列為常數列。故，所以．　　　   4分

（Ⅱ）∵，

∴表中第一行至第九行共含有的前63項，在表中第十行第三列．　　　     7分

        故，而，∴． 　　　　　　　　　　　　　　　          　9分

        故．　　　　　　　　　　　　　　　　　  　       10分

   （Ⅲ）在上單調遞減，

故的最小值是．                                        11分

        若關于的不等式在上有解，

        設，則必須．　　　　　　　　　　　　  　12分

        （或），

，函數當且時單調遞增．　　　　　　　　　　　　  14分

而，，所以的取值范圍是大于4的一切正整數．　　   　16分