Question

下面給出的4個命題：
①已知命題p：?x₁，x₂∈R，，則¬p：?x₁，x₂∈R，；
②函數f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2個零點；
③對于定義在區間[a，b]上的連續不斷的函數y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分條件是f（a）f（b）＜0；
④對于定義在R上的函數f（x），若實數x滿足f（x）=x，則稱x是f（x）的不動點．若f（x）=x²+ax+1不存在不動點，則a的取值范圍是（-1，3）．
其中正確命題的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據全稱命題否定的方法，求出原命題的否定形式，可判斷①，根據函數y=2^-x與函數y=sinx的圖象在[0，2π]上交點個數，可判斷②，根據零點存在定理及充要條件的定義，可判斷③，根據不動點的定義及一元二次方程根的個數與△的關系，可判斷④．
解答：解：命題p：?x₁，x₂∈R，的否定¬p：?x₁，x₂∈R，；故①正確；
∵函數y=2^-x與函數y=sinx的圖象在[0，2π]上恰好有2個交點，故函數f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2個零點，故②正確；
根據零點存在定理，可得在區間[a，b]上的連續不斷的函數y=f（x），若f（a）f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上存在零點，即存在c∈（a，b），使f（c）=0；但存在c∈（a，b），使f（c）=0時，f（a）f（b）＜0不一定成立，故存在c∈（a，b），使f（c）=0的充分不必要條件是f（a）f（b）＜0；故③不正確；
f（x）=x²+ax+1不存在不動點，則方程x²+ax+1=x，即x²+（a-1）x+1=0無實數根，即△=（a-1）²-4＜0，
解得a∈（-1，3），故④正確；
故正確命題的個數是3個
故選C
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了全稱命題的否定，函數的零點，充要條件，零點存在定理，綜合性強，其中③中P是Q的充分不必要條件和P的充分不必要條件是Q，容易混淆．