Question

對于命題P：存在一個常數M，使得不等式對任意正數a，b恒成立．
（1）試猜想常數M的值，并予以證明；
（2）類比命題P，某同學猜想了正確命題Q：存在一個常數M，使得不等式對任意正數a，b，c恒成立，觀察命題P與命題Q的規律，請猜想與正數a，b，c，d相關的正確命題（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令a=b，得，故．  先用分析法證明 ，同理可證明，命題得證．
（2）利用類比推理可得，存在一個常數M，使得不等式對任意正數a，b，c，d恒成立．
解答：解：（1）令a=b，得，故．  先證明：
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即證a²+b²≥2ab，即證（a-b）²≥0，這顯然成立．∴．
再證明：
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即證a²+b²≥2ab，即證（a-b）²≥0，這顯然成立．∴．
（2）存在一個常數M，使得不等式
對任意正數a，b，c，d恒成立．
點評：辦呢題考查用分析法證明不等式，類比推理，找出M的值，是解題的突破口．