Question

對于命題P：存在一個常數M，使得不等式

a

2a+b

+

b

2b+a

≤M≤

a

a+2b

+

b

b+2a

對任意正數a，b恒成立．
（1）試猜想常數M的值，并予以證明；
（2）類比命題P，某同學猜想了正確命題Q：存在一個常數M，使得不等式

a

3a+b

+

b

3b+c

+

c

3c+a

≤M≤

a

a+3b

+

b

b+3c

+

c

c+3a

對任意正數a，b，c恒成立，觀察命題P與命題Q的規律，請猜想與正數a，b，c，d相關的正確命題（不需要證明）．

Answer 1

（1）令a=b，得

2

3

≤M≤

2

3

，故M=

2

3

．  先證明

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

：
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即證a²+b²≥2ab，即證（a-b）²≥0，這顯然成立．∴

a

2a+b

+

b

2b+a

≤

2

3

．
再證明

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

：
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即證a²+b²≥2ab，即證（a-b）²≥0，這顯然成立．∴

2

3

≤

a

a+2b

+

b

b+2a

．
（2）存在一個常數M，使得不等式

a

4a+b

+

b

4b+c

+

c

4c+d

+

d

4d+a

≤M≤

a

a+4b

+

b

b+4c

+

c

c+4d

+

d

d+4a

對任意正數a，b，c，d恒成立．