Question

已知實數(shù)x、y滿足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，則實數(shù)a的最小值是

9

5

．

Answer 1

分析：確定約束條件的平面區(qū)域，求得與原點(diǎn)連線的斜率的范圍，再分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：實數(shù)x、y滿足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

的可行域是一個三角形，三角形的三個頂點(diǎn)分別為（1，4），（2，4），(

5

3

，

10

3

)
與原點(diǎn)連線的斜率分別為4，2，∴

y

x

∈[2，4]
a（x²+y²）≥（x+y）²等價于a≥1+

2

y x + x y

∵

y

x

在[2，4]上單調(diào)增
∴

5

2

≤

y

x

+

x

y

≤4+

1

4

=

17

4

∴a≥1+

4

5

=

9

5

∴實數(shù)a的最小值是

9

5

故答案為：

9

5

點(diǎn)評：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．