Question

已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足PA、PB、PC兩兩垂直，則PC•AB的最大值為（　�。�

• A、0
• B、

  2

• C、2
• D、

  4 2

  3

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：根據題意，畫出圖形，結合圖形，利用基本不等式的性質解答問題．

解答： 解：畫出圖形，如圖所示；
設PA=a，PB=b，PC=c，
由題設知，側面積S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ca，
∴2S=ab+bc+ca；
該三棱錐是內接球的長方體的一部分，體對角線是球的直徑2，
∴a²+b²+c²=4；
由基本不等式可得a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca；
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca；當且僅當a=b=c=

2

3

時取“=”；
此時PC•AB取得最大值，為
PC•AB=c•

a2+b2

=

2

3

•

( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2

3

•

2

×

2

3

=

4 2

3

．
故選：D．

點評：本題考查了空間幾何體的應用問題，解題時應根據題意畫出圖形，結合圖形解答問題，是中檔題．