Question

解方程：6•（9^x+9^-x）-25（3^x-3^-x）+12=0．

Answer 1

分析：因為9^x+9^-x=（3^x-3^-x）²+2，故可用換元法，令3^x-3^-x=t，轉化為二次方程求解．

解答：解：令3^x-3^-x=t，則9^x+9^-x=t²+2
原方程等價于6（t²+z）-25t+12=0即6t²-25t+24=0
（2t-3）（3t-8）=0得t₁=

3

2

，t₂=

8

3

①當t=

3

2

時，有3^x-

1

3x

=

3

2

，即：2-（3^x）²-3•3^x-2=0
（3^x-2）（2•3^x+1）=0得3^x=2或3^x=-

1

2

（舍）∴x=log₃2；
②當t=

8

3

時，有3^x-

1

3x

=

8

3

即：3•（3^x）²-8•3^x-3=0
（3^x-3）•（3•3^x+1）=0得3^x=3或3^x=-

1

3

（舍）∴x=1
綜合①②可知：原方程的解為x=1或x=log₃2．

點評：本題考查指數型方程的解法，考查換元法的應用，在應用換元法時，注意范圍．