Question

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

（1）依題意，解得（負根舍去）
拋物線的方程為；
（2）設點,，，
由,即得. 
∴拋物線在點處的切線的方程為，
即.
∵， ∴ .
∵點在切線上,  ∴.       ①
同理， . ②
綜合①、②得，點的坐標都滿足方程 .
∵經過兩點的直線是唯一的，
∴直線 的方程為，即；
（3）由拋物線的定義可知，
所以
聯立，消去得，

 


當時，取得最小值為 
(1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯立，借助韋達定理和拋物線定義將進行轉化處理，通過參數的消減得到函數關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數求最值，需注意變量的范圍.
【考點定位】本題考查拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關系，考查學生的分析問題的能力和轉化能力、計算能力.