Question

函數是定義在（-1，1）上的奇函數，且．
（1）確定函數的解析式；
（2）證明函數f（x）在（-1，1）上是增函數；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

解：（1）因為f（x）為（-1，1）上的奇函數，所以f（0）=0，即b=0．
又f（）=，所以=，解得a=1．
所以f（x）=．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=-=，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數f（x）在（-1，1）上是增函數；
（3）f（t-1）+f（t）＜0可化為f（t-1）＜-f（t）．
又f（x）為奇函數，所以f（t-1）＜f（-t），
f（x）為（-1，1）上的增函數，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
聯立①②③解得，0＜t＜．
所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集為．
分析：（1）根據奇函數性質有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．
（2）根據函數單調性的定義即可證明；
（3）根據函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．
點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及抽象不等式的求解，定義是解決函數單調性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性質轉化為具體不等式處理．