Question

（2009四川卷理）（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（I）求數列的通項公式；

（II）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（III）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

本小題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，

又

數列成等比數列，其首項，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .   

   =

 又

當

當

                    

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數時，設

則

    

    

     >

對一切大于1的奇數n恒成立

只對滿足的正奇數n成立，矛盾。

另一方面，當時，對一切的正整數n都有

事實上，對任意的正整數k，有

          

         

當n為偶數時，設

則

     <     

當n為奇數時，設

則 .   

<

對一切的正整數n，都有

綜上所述，正實數的最小值為4………………………….14分