Question

(東北師大附中模擬)如下圖，在直角梯形中，，，，BC=3，，A是的中點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)，沿AB把平面折起到平面PAB的位置，使二面角P—CD—B成45°．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；

(2)求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：證明：(1)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD． ∵AB∥DC，DC⊥平面PAD． ∴DC⊥PD，DC⊥AD，∴∠PDA為二面角P－CD－B的平面角．　　　　(3分) 故∠PDA=45°．∵PA=AD=3， ∴∠APD=45°．∴PA⊥AD． 又PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD．　　　　(6分) (2)證法一：延長DA，CE交于點(diǎn)N，連結(jié)PN， 由折疊知PE=NE，又∵E為中點(diǎn)，∴NE=CE． ∴PE=NE=CE，PN⊥PC． 又由(1)知PN⊥PD． ∴∠CPD為二面角C－PN－D的平面角．　　　　(9分) 在直角三角形PDC中，，∴∠CPD=30°． 即平面PEC和平面PAD所成銳二面角為30°．　　　　(12分) 證法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz， 則P(0，0，3)，D(0，3，0)，E，C． ∴，， 設(shè)n=(x，y，z)為平面PEC的法向量，則 ， 又平面PAD的法向量， ∴． ∴，即所求二面角為30°．