Question

等比數列{a_n}為遞增數列，且a4=

2

3

，a3+a5=

20

9

，數列bn=log3

an

2

（n∈N^*）
（1）求數列{b_n}的前n項和S_n及其最小值；
（2）若T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1，求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）設等比數列的首項a₁，公比為q，利用等比數列的通項公式表示已知條件，可求q，利用an=a4•qn-4可求通項，然后代入bn=log3

an

2

，結合等差數列的求和公式即可求解S_n，結合等差數列的性質可求最小值
（2）利用等比數列的求和公式可求T_n，然后結合數列的單調性可求和的最小值

解答：解：（1）設等比數列的首項a₁，公比為q
則由已知可得，a3(1+q2)=

20

9

，a3q=

2

3

兩式相除可得，

1+q2

q

=

10

3

即3q²-10q+3=0
∴q=

1

3

或q=3
∵數列{a_n}為遞增數列且a4=

2

3

∴q=3
∴an=a4•qn-4=

2

3

×3n-4=2•3^n-5
∴bn=log3

an

2

=n-5
∴sn=

-4+n-5

2

•n=

n(n-9)

2

由b_n≤0可得n≤5
（S_n）_min=s₄=s₅=

-4×5

2

=-10
（2）∵b2n-1=2^n-1-5
∴T_n=b₁+b₂+b22+…+b2n-1=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-5n
=

1-2n

1-2

-5n
=2ⁿ-5n-1
∴Tn-1=2n-1-5(n-1)-1
=T_n-T_n-1=2^n-1-5＞0
∴n≥4
即有T₁＞T₂＞T₃＜T₄＜T₅＜…
∴（T_n）_min=T₃=2³-5×3-1=-8

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式求和公式的應用，等差數列的求和公式，及利用數列的單調性求解數列的最值，屬于數列知識的綜合應用