Question

如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)

FB

⊥

AB

時，其離心率為

5 -1

2

，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5

  +1
• D．

  5

  -1

Answer 1

分析：類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，當(dāng)

FB

⊥

AB

時，|BF|²+|AB|²=|AF|²，由此可知b²+c²+c²=a²+c²+2ac，整理得c²=a²+ac，即e²-e-1=0，解這個方程就能求出黃金雙曲線的離心率e．

解答：解：類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
當(dāng)

FB

⊥

AB

時，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得 e=

5 +1

2

，或 e=

- 5 +1

2

（舍去）．
故黃金雙曲線的離心率e=

5 +1

2

．
故選A．

點評：本題主要考查了類比推理、橢圓的簡單性質(zhì)及雙曲線的簡單性質(zhì)．注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系，利用雙曲線的性質(zhì)求解．