Question

如圖，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，當

FB

⊥

AB

時，其離心率為

5 -1

2

，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于

 

．

Answer 1

分析：在黃金雙曲線中，|BF|²+|AB|²=|AF|²，由此可知b²+c²+c²=a²+c²+2ac，∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，即e²-e-1=0，解這個方程就能求出黃金雙曲線的離心率e．

解答：解：在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
由題意可知，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得e=

5 +1

2

，或e=

- 5 +1

2

（舍去）．
故黃金雙曲線的離心率e得e=

5 +1

2

．

點評：注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關系，利用雙曲線的性質求解．