Question

a、b是常數，關于x的一元二次方程x²+（a+b）x+3+

ab

2

=0有實數解記為事件A．
（1）若a、b分別表示投擲兩枚均勻骰子出現的點數，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．

Answer 1

（1）方程有實數解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依題意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投擲兩枚均勻骰子出現的點數”共有6×6=36種結果…（2分）
當且僅當“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”時，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以滿足a²+b²≥12的結果有36-（3+2+1）=30種…（6分），
從而P（A）=

30

36

=

5

6

…（7分）．
（2）在平面直角坐標系aOb中，直線a+b=±6與a-b=±6
圍成一個正方形…（8分）
正方形邊長即直線a+b=±6與a-b=±6之間的距離為d=

6+6

2

=6

2

…（9分）
正方形的面積S=d²=72…（10分），
圓a²+b²=12的面積為S′=12π…（11分）
圓在正方形內部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

72-12π

72

=

6-π

6

…（13分）．