Question

a、b是常數，關于x的一元二次方程x2+(a+b)x+3+

ab

2

=0有實數解記為事件A．
（1）若a、b分別表示投擲兩枚均勻骰子出現的點數，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a≤6且-6≤b≤6，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）先求出數對（a，b）的個數，再由方程有根，必有△≥0，由此關系計數得出符合的數對（a，b）的個數，再由公式求出概率．
（2）此題是一個幾何概率模型，先求出區域D={（a，b）|-6≤a≤6，-6≤b≤6}的面積，再求出程有實根對應區域為d={（a，b）|-6≤a≤6，-6≤b≤6，a²+b²≥12}與區域D的公共部分的面積，再有概率公式求出概率．

解答：解：（1）方程有實數解，（a+b）²-4（3+

ab

2

）≥0，
即a²+b²≥12…（1分）
依題意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投擲兩枚均勻骰子出現的點數”共有6×6=36種結果…（2分）
當且僅當“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”時，a²+b²≥12不成立…（5分），
所以滿足a²+b²≥12的結果有36-（3+2+1）=30種…（6分），
從而P（A）=

30

36

=

5

6

…（7分）．
（2）在平面直角坐標系aOb中，直線a=±6與b=±6圍成一個正方形…（8分）
正方形邊長即直線a=±6與b=±6之間的距離為d=12…（9分）
正方形的面積S=d²=144…（10分），
圓a²+b²=12的面積為S′=12π…（11分）
圓在正方形內部…（12分），
所以P（A）=

S-S′

S

=

144-12π

144

=

12-π

12

…（13分）

點評：本題考查等可能事件的概率，解題的關鍵是理解題意，得出（1）是一個古典概率模型問題，（2）中是一個幾何概率模型，由相應的公式計算出概率