Question

已知圓錐SO中，底面半徑r=1，母線長l=4，M為母線SA上的一個點且SM=x，從點M拉一繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A．
（1）求繩子的最短長度的平方f（x）；
（2）求繩子最短時，定點S到繩子的最短距離；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）算出側(cè)面展開扇形圓心角α=90°，因此將圓錐側(cè)面展開，可得繩子的最短長度為Rt△ASM中斜邊AM的長，由此利用勾股定理即可算出f（x）的表達(dá)式；
（2）由平面幾何性質(zhì)，可得繩子最短時定點S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，利用三角形面積等積變換求解，可得這個最短距離的表達(dá)式；
（3）由于f（x）=x²+16在區(qū)間[0，4]上是一個增函數(shù)，可得當(dāng)x=4時，f（x）的最大值等于32．

解答：解：（1）∵底面半徑r=1，母線長l=4，
∴側(cè)面展開扇形的圓心角α=

r

l

×360°=90°
因此，將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A，最短距離為Rt△ASM中，斜邊AM的長度
∵SM=x，SA=4
∴f（x）=AM²=x²+4²=x²+16
（2）由（1）可得：繩子最短時，定點S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，設(shè)這個距離等于d，
則d=

SM•AS

AM

=

4x

x2+16

；
（3）∵f（x）=x²+16，其中0≤x≤4
∴當(dāng)x=4時，f（x）的最大值等于32．

點評：本題在圓錐的表面拉一根繩子，求繩子長度的最小值．著重考查了圓錐的側(cè)面展開、勾股定理與三角形面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．